# The significance of the Mathieu-Hill differential equation for Newton's apsidal precession theorem

### Abstract

Newton's precession theorem in Proposition 45 of Book I of Principia relates a centripetal force of magnitude μrn-3 as a power of the distance from the center to the apsidal angle θ, where θ is the angle between the point of greatest distance and the point of least distance. The formula θ = π/√π is essentially restricted to orbits of small eccentricity. A study of the apsidal angle for appreciable orbital eccentricity leads to an analysis of the differential equation of the orbit. We show that a detailed perturbative approach leads to a Mathieu-Hill-type of inhomogeneous differential equation. The homogeneous and inhomogeneous differential equations of this type occur in many interesting problems across several disciplines. We find that the approximate solution of this equation is the same as an earlier one obtained by a bootstrap perturbative approach. A more thorough analysis of this inhomogeneous differential equation leads to a modified Hill determinant. We show that the roots of this determinant equation can be solved to obtain an accurate solution for the orbit. This approach may be useful even for cases where n deviates noticeably from 1. The derived analytic results were applied to the Moon, Mercury, the asteroid Icarus, and a hypothetical object. We show that the differential equation that occurs in a perturbative relativistic treatment of the perihelion precession of Mercury also leads to a simplified form of the Mathieu-Hill differential equation.

Le théorème de Newton sur la précession dans la Proposition 45 du livre I des Principia décrit la force centripète de grandeur μrn-3 comme une puissance de la distance mesurée à partir du centre de l'angle absidal θ, où θ est l'angle entre les points de plus grande et plus petite distance. La formule θ = π/√π est essentiellement limitée aux orbites de faible excentricité. Une étude de l'angle absidal dans les orbites d'excentricité finie mène à une analyse de l'équation différentielle pour l'orbite. Nous montrons qu'une approche perturbative détaillée mène à une équation différentielle inhomogène de Mathieu-Hill. Les équations différentielles homogènes et inhomogènes de ce type se retrouvent dans de nombreux problèmes intéressants chevauchant plusieurs disciplines. Nous trouvons que la solution approximative de cette équation est la même que celle précédemment obtenue par une approche perturbative «bootstrap». Une analyse plus détaillée de cette équation différentielleinhomogène mène au déterminant modifié de Hill. Nous montrons que nous pouvons résoudre les racines de cette équation pour obtenir une solution précise pour l'orbite. L'approche peut être utile même dans les cas où n est notablement différent de 1. Les résultats analytiques obtenus ont été appliqués à la Lune, Mercure, l'astéroïde Icarus et à un objet hypothétique. Nous montrons que l'équation différentielle résultant d'un traitement perturbatif relativiste pour la précession de Mercure mène à une forme simplifiée de l'équation de Mathieu-Hill.