Spherical Couette flow of Oldroyd 8-constant model Part I. Solution up to the second-order approximation

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Abstract

The steady flow of an incompressible Oldroyd 8-constant fluid in the annular region between two spheres, or so-called spherical Couette flow, is investigated. The inner sphere rotates with anangular velocity ω about the z-axis, which passes through the center of the spheres, while the outer sphere is kept at rest. The viscoelasticity of the fluid is assumed to dominate the inertia such that the latter can be neglected in the momentum equation. An analytical solution is obtained through the expansion of the dynamical variables in a power series of the dimensionless retardation time. The leading velocity term denotes the Newtonian rotation about the z-axis. The first-order term results in a secondary flow represented by the stream function that divides the flow region into four symmetric parts. The second-order term is the viscoelastic contribution to the primary viscous flow. The first-order approximation depends on the viscosity and four of the material time-constants of the fluid. The second-order approximation depends on the eight viscometric parameters of the fluid. The torque acting on the outer sphere has an additional term due to viscoelasticity that depends on all the material parameters of the fluid under consideration. For an Oldroyd-B fluid this contributed term enhances the primary torque but in the case of fluids with higher elasticity the torque components may be enhanced or diminished depending on the values of the viscometric parameters. PACS Nos.: 47.15.Rq

Nous étudions l'écoulement stationnaire d'un fluide incompressible du modèle à huit paramètres d'Oldroyd dans un régime annulaire entre deux sphères, souvent appelé écoulement de Couette. La sphère intérieure tourne avec une vitesse ω autour d'un axe z passant par le centre des deux sphères, pendant que la sphère extérieure est gardée immobile. Nous supposons que les effets viscoélastiques sont plus importants que les effets inertiaux, de telle sorte que ces derniers sont négligés dans l'équation pour le moment. Nous obtenons une solution analytique via l'expansion des variables dynamiques en séries de puissance du temps retardé. Le premier terme en vitesse décrit la rotation newtonienne autour de l'axe z. Le terme de premier ordre décrit un écoulement secondaire représenté par une fonction de flot qui divise la région d'écoulement en quatre parties symétriques. Le terme de deuxième ordre est la contribution viscoélastique à l'écoulement primaire visqueux. L'approximation de premier ordre dépend de la viscosité et de quatreparamètres du modèle. L'approximation de deuxième ordre dépend des huit paramètres viscométriques du modèle. Le torque sur la surface de la sphère extérieure a un terme additionnel dû à la viscoélasticité et dépend de tous les paramètres du fluide étudié. Pour un fluide d'Oldroyd à huit paramètres, ce terme augmente le torque primaire, mais dans le cas de fluides de plus grande élasticité, les contributions au torque peuvent être positives ou négatives selon la valeur des paramètres viscométriques. [Traduit par la Rédaction]

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